Problema sistema ecuaciones diferenciales 2

La interacción entre dos especie ha sido modelada mediante el siguiente sistema:

x’ = 3x + y

y’ = -2x + y

a) Explica qué tipo de relación existe entre ambas especies, indicando a cuál corresponde cada variable.

Existe una relación de depredación ya que el crecimiento de uno de los organismos se ve afectado por el número de organismos del otro tipo. A su vez, el crecimiento de los otros organismos es mayor gracias a los organismos del primer tipo. En conclusión, el organismo x es la presa y el organismo y, el depredador.

b) Hallar la solución general del sistema.

x = (y – y’)/ 2

x’ = (y’ – y’’)/ 2

(y’ – y’’)/ 2 = 3[(y – y’)/ 2] + y

y’ – y’’ = 3y – 3y’ + 2y

-y’’ + 4y’ – 5y = 0

-r² + 4r – 5 = 0

r₁ = (-4 + √-4)/ (-2) = 2 - i

r₂ = (-4 - √-4)/ (-2) = 2 + i

y = e^2t(A cos t + B sen t)

y’ = 2e^2t(A cos t + B sen t) + e^2t(-A sen t + B cos t)

Solución general:

x = [- e^2t(A cos t + B sen t) - e^2t(-A sen t + B cos t)]/ 2

y = e^2t(A cos t + B sen t)

c) Resolver el sistema sabiendo que x(0) = 200 e y(0) = 500.

x(0) = 200 = (- A - B)/ 2

y(0) = 500 = A

A = 500

B = -900

x = [- e^2t(-400 cos t - 1400 sen t)]/ 2

y = e^2t(500 cos t - 900 sen t)