Fermat's Theorem

Fermat’s Theorem: Supposse a function which it's defined on the interval (a, b), in which we can find c. 

If f(c) is an extreme value of f, and f is differentiable at c, then f’(c) = 0.

A maximum or minimum can occur where the derivative doesn't exist. And also, a point where the derivative is zero may not be a maximum or minimum point. For example, a function that increases, has a region with slope equals to 0 and continues increasing. It's not an extremum value. 

The second derivative

The derivative measures how changes to the input affect the output. The second derivative measures how the derivative is changing. The sign of the second derivative measures concavity.

Concave up: f’’ > 0

Concave down: f’’ < 0

The point between concave up and concave down, where the second derivative is equal to 0, is called an inflection point. 

Integración por cambio de variable

∫ [e^x/ (e^2x + 2e^x + 1)] dx

u = e^x

du = e^x dx

dx = du/ e^x

ln u = ln e^x

ln u = x

∫[u/ (u² + 2u + 1)](du/ u) = ∫ du/ (u² + 2u + 1) = ∫ du/ (u + 1)² = [- 1/ (u + 1)] + c

∫ [e^x/ (e^2x + 2e^x + 1)] dx = [- 1/ (e^x + 1)] + c

Integración por cambio de variable

∫ [(sen √x)/√x] dx

u = √x

u² = x

du = dx/(2√x)

dx = 2√x du

∫ [(sen √x)/√x] dx = ∫2u (sen u/ u) du = ∫2 sen u du = -2 cos u + c

∫ [(sen √x)/√x] dx = -2 cos (√x) + c

Integración por partes

∫x cos (x/2) dx

u = x

du = 1

dv = cos (x/2)

v = ∫cos (x/2) = 2 sen (x/2)

∫x cos (x/2) dx = 2x sen (x/2) - ∫2 sen (x/2)

∫x cos (x/2) dx = 2x sen (x/2) + 4 cos (x/2) + c

Problema ecuación en diferencia

En una explotación ganadera aparece cierta enfermedad contagiosa. Cada mes el 20% de la población enferma se cura pero el 5% muere. Además, de un mes para otro se contagian 20 individuos nuevos.

a) Modelar la situación mediante una ecuación en diferencias.

Sea x_n el número de infectados en el tiempo n.

x_n = (75/100)ⁿ C + 20

x_n = (3/4)ⁿ C + 20

b) Resolver la ecuación suponiendo que inicialmente no hay ningún afectado.

x₀ = 0

Primero averiguamos la solución general de su homogénea asociada, y después hallamos una particular.

x_n = (3/4)ⁿ C

x_n = (3/4)ⁿ C + 20

a – 0,75a = 20

0,25 a = 20

a = 80

x_n = (3/4)ⁿ C + 80

x₀ = C + 80 = 0

C = -80

x_n = -80(3/4)ⁿ + 80

c) ¿Qué sucede a largo plazo?

lím [-80(3/4)ⁿ + 80] = 80

n → ∞

La población infectada queda estacionariamente en 80 individuos.

Integral por cambio de variable

∫(1 + x)/(√1 – x²) dx

u = √1 – x²

du = -2x(1/2)[1/(√1 – x²)] dx = [- x/ (√1 – x²)] dx

dx = [- (√1 – x²)/ x] du = [- u/ (√1 – u²)] du

1 – x² = u²

x = √1 – u²

∫(1 + x)/(√1 – x²) dx = ∫[(1 + √1 – u²)/ u] [- u/ (√1 – u²)] du

∫[-(1 + √1 – u²)/ (√1 – u²)] du = - ∫[(1 + √1 – u²)/ (√1 – u²)] du

- ∫[(1/ √1 – u²)] du - ∫[(√1 – u²) / (√1 – u²)] du =

- arcsen u + c – (u + c)

- arcsen u – u + c

∫(1 + x)/(√1 – x²) dx = - arcsen (√1 – x²) – (√1 – x²) + c