En una explotación ganadera aparece cierta enfermedad contagiosa. Cada mes el 20% de la población enferma se cura pero el 5% muere. Además, de un mes para otro se contagian 20 individuos nuevos.
a) Modelar la situación mediante una ecuación en diferencias.
Sea xn el número de infectados en el tiempo n.
xn = (75/100)n C + 20
xn = (3/4)n C + 20
b) Resolver la ecuación suponiendo que inicialmente no hay ningún afectado.
x0 = 0
Primero averiguamos la solución general de su homogénea asociada, y después hallamos una particular.
xn = (3/4)n C
xn = (3/4)n C + 20
a – 0,75a = 20
0,25 a = 20
a = 80
xn = (3/4)n C + 80
x0 = C + 80 = 0
C = -80
xn = -80(3/4)n + 80
c) ¿Qué sucede a largo plazo?
lím [-80(3/4)n + 80] = 80
n → ∞
La población infectada queda estacionariamente en 80 individuos.
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