Problema sistema ecuaciones diferenciales 1

La interacción entre dos especies ha sido modelada mediante el siguiente sistema. Resuelve el sistema sabiendo que x (0) = 1600 e y (0) = 200.

x’ = 2x + 3y

y’ = 4x + y

Se despeja x en función de y e y’, y se halla su derivada (x’):

x = (y’ – y)/ 4

x’ = (y’’ – y’)/ 4

Cuando tenemos esto sustituimos arriba x y x’ en la primera ecuación.

(y’’ – y’)/ 4 = 2[(y’ – y)/ 4] + 3y

(y’’ – y’) = 2(y’ – y) + 12y

y’’ – y’ = 2y’ – 2y + 12y

y’’ -3y’ - 10 y = 0

Es una ecuación homogénea de segundo grado.

r² – 3r – 10 = 0

r¹ = (3 + 7)/ 2 = 5

r² = (3 – 7)/ 2 = -2

Como las raíces son distintas, se utiliza la fórmula y = Ae^rt + Be^rt

y (t) = Ae^5t + Be^-2t

y’ = 5Ae^5t – 2Be^-2t

Sustituimos y e y' en x = (y’ – y)/ 4

x = (5Ae^5t – 2Be^-2t - Ae^5t - Be^-2t)/ 4

Al final, nos queda un sistema en la que las incógnitas son A y B:

x = (4Ae^5t - 3Be^-2t)/ 4

y (t) = Ae^5t + Be^-2t

x = 1600 = (4A – 3B)/ 4

y = 200 = A + B

A = 200 – B

(800 – 4B – 3B)/ 4 = (800 – 7B)/ 4 = 1600

B = - 800

A = 1000

Por tanto, las soluciones del sistema son:

x = (4000e^5t + 2400e^-2t)/ 4 = 1000e^5t + 600e^-2t

y = 1000e^5t - 800e^-2t