Integración por cambio de variable

∫ [e^x/ (e^2x + 2e^x + 1)] dx

u = e^x

du = e^x dx

dx = du/ e^x

ln u = ln e^x

ln u = x

∫[u/ (u² + 2u + 1)](du/ u) = ∫ du/ (u² + 2u + 1) = ∫ du/ (u + 1)² = [- 1/ (u + 1)] + c

∫ [e^x/ (e^2x + 2e^x + 1)] dx = [- 1/ (e^x + 1)] + c

Integración por cambio de variable

∫ [(sen √x)/√x] dx

u = √x

u² = x

du = dx/(2√x)

dx = 2√x du

∫ [(sen √x)/√x] dx = ∫2u (sen u/ u) du = ∫2 sen u du = -2 cos u + c

∫ [(sen √x)/√x] dx = -2 cos (√x) + c

Integración por partes

∫x cos (x/2) dx

u = x

du = 1

dv = cos (x/2)

v = ∫cos (x/2) = 2 sen (x/2)

∫x cos (x/2) dx = 2x sen (x/2) - ∫2 sen (x/2)

∫x cos (x/2) dx = 2x sen (x/2) + 4 cos (x/2) + c

Problema ecuación en diferencia

En una explotación ganadera aparece cierta enfermedad contagiosa. Cada mes el 20% de la población enferma se cura pero el 5% muere. Además, de un mes para otro se contagian 20 individuos nuevos.

a) Modelar la situación mediante una ecuación en diferencias.

Sea x_n el número de infectados en el tiempo n.

x_n = (75/100)ⁿ C + 20

x_n = (3/4)ⁿ C + 20

b) Resolver la ecuación suponiendo que inicialmente no hay ningún afectado.

x₀ = 0

Primero averiguamos la solución general de su homogénea asociada, y después hallamos una particular.

x_n = (3/4)ⁿ C

x_n = (3/4)ⁿ C + 20

a – 0,75a = 20

0,25 a = 20

a = 80

x_n = (3/4)ⁿ C + 80

x₀ = C + 80 = 0

C = -80

x_n = -80(3/4)ⁿ + 80

c) ¿Qué sucede a largo plazo?

lím [-80(3/4)ⁿ + 80] = 80

n → ∞

La población infectada queda estacionariamente en 80 individuos.

Integral por cambio de variable

∫(1 + x)/(√1 – x²) dx

u = √1 – x²

du = -2x(1/2)[1/(√1 – x²)] dx = [- x/ (√1 – x²)] dx

dx = [- (√1 – x²)/ x] du = [- u/ (√1 – u²)] du

1 – x² = u²

x = √1 – u²

∫(1 + x)/(√1 – x²) dx = ∫[(1 + √1 – u²)/ u] [- u/ (√1 – u²)] du

∫[-(1 + √1 – u²)/ (√1 – u²)] du = - ∫[(1 + √1 – u²)/ (√1 – u²)] du

- ∫[(1/ √1 – u²)] du - ∫[(√1 – u²) / (√1 – u²)] du =

- arcsen u + c – (u + c)

- arcsen u – u + c

∫(1 + x)/(√1 – x²) dx = - arcsen (√1 – x²) – (√1 – x²) + c

Problema sistema ecuaciones diferenciales 2

La interacción entre dos especie ha sido modelada mediante el siguiente sistema:

x’ = 3x + y

y’ = -2x + y

a) Explica qué tipo de relación existe entre ambas especies, indicando a cuál corresponde cada variable.

Existe una relación de depredación ya que el crecimiento de uno de los organismos se ve afectado por el número de organismos del otro tipo. A su vez, el crecimiento de los otros organismos es mayor gracias a los organismos del primer tipo. En conclusión, el organismo x es la presa y el organismo y, el depredador.

b) Hallar la solución general del sistema.

x = (y – y’)/ 2

x’ = (y’ – y’’)/ 2

(y’ – y’’)/ 2 = 3[(y – y’)/ 2] + y

y’ – y’’ = 3y – 3y’ + 2y

-y’’ + 4y’ – 5y = 0

-r² + 4r – 5 = 0

r₁ = (-4 + √-4)/ (-2) = 2 - i

r₂ = (-4 - √-4)/ (-2) = 2 + i

y = e^2t(A cos t + B sen t)

y’ = 2e^2t(A cos t + B sen t) + e^2t(-A sen t + B cos t)

Solución general:

x = [- e^2t(A cos t + B sen t) - e^2t(-A sen t + B cos t)]/ 2

y = e^2t(A cos t + B sen t)

c) Resolver el sistema sabiendo que x(0) = 200 e y(0) = 500.

x(0) = 200 = (- A - B)/ 2

y(0) = 500 = A

A = 500

B = -900

x = [- e^2t(-400 cos t - 1400 sen t)]/ 2

y = e^2t(500 cos t - 900 sen t)

Demostración derivada arctg x

Sabemos que la función inversa de la arctg x es la tangente:

y = arctg x

x = tg y

y’ · (1 + tg²y) = x’

y’ = x’/ (1 + tg²y)

x = tg y

x² = tg²y

y’ = x’/ (1 + x²)

Demostración derivada tg x

y = tg x

y = (sen x)/ (cos x)

ln y = ln [(sen x)/ (cos x)] = ln (sen x) – ln (cos x)

y’/ y = x’ [(cos x)/ (sen x)] – x’ [(-sen x)/ (cos x)]

y’/ y = x’ [(cos x)/ (sen x)] + x’ [(sen x)/ (cos x)]

y’/ y = x’ [(cos²x + sen²x)/ (sen x · cos x)]

y’ = yx’ [(cos²x + sen²x)/ (sen x · cos x)]

y’ = x’ [(sen x)/ (cos x)] [(cos²x + sen²x)/ (sen x · cos x)]

y’ = x’ [(cos²x + sen²x)/ (cos²x)]

y’ = x’ (1 + tg²x) = x’ + x’ tg²x

Demostración derivada arccos x

Sabemos que la función inversa de arccos x es el cos x. Por tanto:

y = arccos x

x = cos y

Derivamos en ambos lados de la segunda ecuación:

- y’ · sen y = x’

y’ = - x’/ (sen y)

cos²y + sen²y = 1

sen y = (1 – cos²y)^1/2

y’ = - x’/ (1 – cos²y)^1/2

x = cos y

y’ = - x’/ (1 – x²)^1/2

Demostración derivada arcsen x

Sabemos que la función inversa de arcsen x es el sen x. Por tanto:

y = arcsen x

x = sen y

Derivamos en ambos lados de la segunda ecuación:

y’ · cos y = x’

y’ = x’/ (cos y)

cos²y + sen²y = 1

cos y = (1 – sen²y)^1/2

y’ = x’/ (1 – sen²y)^1/2

x = sen y

y’ = x’/ (1 – x²)^1/2

Demostración derivada x como base y exponente

y = x^nx

ln y = ln x^nx = nx ln x

y’/ y = n ln x + n = n (ln x + 1)

y’ = yn (ln x + 1)

y’ = nx^nx (ln x + 1)

Demostración derivada ln x

Se puede hacer de dos formas:

y = ln x

ln y = ln (ln x)

y’/ y = (1/ ln x)(1/ x)

y’ = y/ ln x

Pero ya que queremos demostrar la derivada del logaritmo neperiano de x, me parece mejor la forma en la que no se requiere su derivada:

y = ln x

e^y = e^{ln x}

e^y = x

y’ · e^y = 1

y’ = 1/ e^y

ln y’ = ln (1/ e^y) = ln 1 – ln e^y = - y

ln y’ = -y

e^{ln y’} = e^-y

y’ = 1/ e^y

y = ln x

y’ = 1/ e^{ln x} = 1/ x

Demostración derivada e^x

y = e^nx

ln y = ln e^nx

ln y = nx ln e

ln y = nx

y’/ y = n

y’ = ny = ne^nx

Demostración derivada x como base

y = xⁿ

ln y = n ln x

y’/ y = n/ x

y’ = ny/ x

y = xⁿ

y’ = nxⁿ/ x = nx^n-1

Demostración derivada x

y = x

ln y = ln x

Hallamos las derivadas a cada lado.

y’/ y = 1/ x

Despejamos la y’:

y’ = y/ x

Como teníamos que la y = x, sustituimos :

y’= x/ x = 1

Problema sistema ecuaciones diferenciales 1

La interacción entre dos especies ha sido modelada mediante el siguiente sistema. Resuelve el sistema sabiendo que x (0) = 1600 e y (0) = 200.

x’ = 2x + 3y

y’ = 4x + y

Se despeja x en función de y e y’, y se halla su derivada (x’):

x = (y’ – y)/ 4

x’ = (y’’ – y’)/ 4

Cuando tenemos esto sustituimos arriba x y x’ en la primera ecuación.

(y’’ – y’)/ 4 = 2[(y’ – y)/ 4] + 3y

(y’’ – y’) = 2(y’ – y) + 12y

y’’ – y’ = 2y’ – 2y + 12y

y’’ -3y’ - 10 y = 0

Es una ecuación homogénea de segundo grado.

r² – 3r – 10 = 0

r¹ = (3 + 7)/ 2 = 5

r² = (3 – 7)/ 2 = -2

Como las raíces son distintas, se utiliza la fórmula y = Ae^rt + Be^rt

y (t) = Ae^5t + Be^-2t

y’ = 5Ae^5t – 2Be^-2t

Sustituimos y e y' en x = (y’ – y)/ 4

x = (5Ae^5t – 2Be^-2t - Ae^5t - Be^-2t)/ 4

Al final, nos queda un sistema en la que las incógnitas son A y B:

x = (4Ae^5t - 3Be^-2t)/ 4

y (t) = Ae^5t + Be^-2t

x = 1600 = (4A – 3B)/ 4

y = 200 = A + B

A = 200 – B

(800 – 4B – 3B)/ 4 = (800 – 7B)/ 4 = 1600

B = - 800

A = 1000

Por tanto, las soluciones del sistema son:

x = (4000e^5t + 2400e^-2t)/ 4 = 1000e^5t + 600e^-2t

y = 1000e^5t - 800e^-2t