Problema sistema ecuaciones diferenciales 2

La interacción entre dos especie ha sido modelada mediante el siguiente sistema:

x’ = 3x + y

y’ = -2x + y

a) Explica qué tipo de relación existe entre ambas especies, indicando a cuál corresponde cada variable.

Existe una relación de depredación ya que el crecimiento de uno de los organismos se ve afectado por el número de organismos del otro tipo. A su vez, el crecimiento de los otros organismos es mayor gracias a los organismos del primer tipo. En conclusión, el organismo x es la presa y el organismo y, el depredador.

b) Hallar la solución general del sistema.

x = (y – y’)/ 2

x’ = (y’ – y’’)/ 2

(y’ – y’’)/ 2 = 3[(y – y’)/ 2] + y

y’ – y’’ = 3y – 3y’ + 2y

-y’’ + 4y’ – 5y = 0

-r² + 4r – 5 = 0

r₁ = (-4 + √-4)/ (-2) = 2 - i

r₂ = (-4 - √-4)/ (-2) = 2 + i

y = e^2t(A cos t + B sen t)

y’ = 2e^2t(A cos t + B sen t) + e^2t(-A sen t + B cos t)

Solución general:

x = [- e^2t(A cos t + B sen t) - e^2t(-A sen t + B cos t)]/ 2

y = e^2t(A cos t + B sen t)

c) Resolver el sistema sabiendo que x(0) = 200 e y(0) = 500.

x(0) = 200 = (- A - B)/ 2

y(0) = 500 = A

A = 500

B = -900

x = [- e^2t(-400 cos t - 1400 sen t)]/ 2

y = e^2t(500 cos t - 900 sen t)

Demostración derivada arctg x

Sabemos que la función inversa de la arctg x es la tangente:

y = arctg x

x = tg y

y’ · (1 + tg²y) = x’

y’ = x’/ (1 + tg²y)

x = tg y

x² = tg²y

y’ = x’/ (1 + x²)

Demostración derivada tg x

y = tg x

y = (sen x)/ (cos x)

ln y = ln [(sen x)/ (cos x)] = ln (sen x) – ln (cos x)

y’/ y = x’ [(cos x)/ (sen x)] – x’ [(-sen x)/ (cos x)]

y’/ y = x’ [(cos x)/ (sen x)] + x’ [(sen x)/ (cos x)]

y’/ y = x’ [(cos²x + sen²x)/ (sen x · cos x)]

y’ = yx’ [(cos²x + sen²x)/ (sen x · cos x)]

y’ = x’ [(sen x)/ (cos x)] [(cos²x + sen²x)/ (sen x · cos x)]

y’ = x’ [(cos²x + sen²x)/ (cos²x)]

y’ = x’ (1 + tg²x) = x’ + x’ tg²x

Demostración derivada arccos x

Sabemos que la función inversa de arccos x es el cos x. Por tanto:

y = arccos x

x = cos y

Derivamos en ambos lados de la segunda ecuación:

- y’ · sen y = x’

y’ = - x’/ (sen y)

cos²y + sen²y = 1

sen y = (1 – cos²y)^1/2

y’ = - x’/ (1 – cos²y)^1/2

x = cos y

y’ = - x’/ (1 – x²)^1/2

Demostración derivada arcsen x

Sabemos que la función inversa de arcsen x es el sen x. Por tanto:

y = arcsen x

x = sen y

Derivamos en ambos lados de la segunda ecuación:

y’ · cos y = x’

y’ = x’/ (cos y)

cos²y + sen²y = 1

cos y = (1 – sen²y)^1/2

y’ = x’/ (1 – sen²y)^1/2

x = sen y

y’ = x’/ (1 – x²)^1/2

Demostración derivada x como base y exponente

y = x^nx

ln y = ln x^nx = nx ln x

y’/ y = n ln x + n = n (ln x + 1)

y’ = yn (ln x + 1)

y’ = nx^nx (ln x + 1)

Demostración derivada ln x

Se puede hacer de dos formas:

y = ln x

ln y = ln (ln x)

y’/ y = (1/ ln x)(1/ x)

y’ = y/ ln x

Pero ya que queremos demostrar la derivada del logaritmo neperiano de x, me parece mejor la forma en la que no se requiere su derivada:

y = ln x

e^y = e^{ln x}

e^y = x

y’ · e^y = 1

y’ = 1/ e^y

ln y’ = ln (1/ e^y) = ln 1 – ln e^y = - y

ln y’ = -y

e^{ln y’} = e^-y

y’ = 1/ e^y

y = ln x

y’ = 1/ e^{ln x} = 1/ x